Задачi на побудову

   Задачi на побудову

Задачи на построение фигуры по данным элементам решается по таким этапам: построение, доказательство, исследование.

Наиболее распространёнными методами решения задач на построение является метод геометрических мест точек, метод геометрических превращений, алгебраический метод.

Метод геометрических мест точек

Суть метода геометрических мест точек состоит в том, что когда для построения искомой сригуры нужно найти точку, которая удовлетворяет два условия, строят ери гуру-геометрическое место точек, которая удовлетворяет одно условие, и фигуру - геометрическое место точек, которая удовлетворяет другое условие. Искомая точка найдется как пересечение найденных геометрических мест точек.

Задача 1.

Построить параллелограмм по смежным сторонам и углом между диагоналями.

Анализ. Допустим что задача решена и параллелограмм АВСО построен, у которого АВ=а, АО=Ъ, угол АСЮ=а.

Чтобы построить параллелограмм, достаточно построить треугольник АСЮ. Проведем отрезок ОМ//АВ. У тр-ка АВО ОМ — средняя линия, значит, ОМ = а:2. Построение тр-ка АОИ сводится к построению вершины О. Точка О удовлетво­ряет два условия: 1) из неё отрезок АО виден под углом а; 2) эта точка расположена на расстоянии а:2 от точки М - середины отрезка АО.

Точки, которые удовлетворяют первое условие, образуют некоторое геометрическое место точек - две симметричные дуги без концов, для которых отрезок АО является хордой. Точки, которые удовлетворяют второе условие, принадлежат окружности с центром М радиуса а:2. Поскольку точка О должна удовлетворять два условия, то она найдётся на пересечении указанных ТМТ. Когда мы имеем тр-ик АОО, то можем построить параллелограмм.

Построение.

Строим:

1)  АО=Ь;

2)  точку М, которая принадлежит АО, такую что АМ=МО;

3)     АЮ - геометрическое место точек, из которых отрезок АО виден под углом а; Р - центр окружности, который имеет эту дугу;

4)  окружность с центром М радиуса а:2;

5)  точку О - пересечение окружности с дугой;

6)  ОС=АО; ОВ=00;

7)  АВСО - искомый параллелограмм.

Доказательство. Поскольку в четырёхугольнике АВСО диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм. АО=Ь -по построению. Точка О принадлежит    А1В, поэтому угол АОВ=а. Из того что точка О принадлежит окружности, получается, что ОМ=а:2, а поскольку ОМ -средняя линия треугольника АВО, то АВ=20М=а. Значит АВСО - искомый параллелограмм.

Наблюдение. Пускай прямая РМ пересекается с дугой АЮ в точке К. Рассмотрим треугольник АКМ, у него АМ=Ь:2; угол АКМ=а:2. Тогда КМ=АМс1§ а:2=Ь:2с1^ а:2. Если а:2 Ь:2 или а:2 КМ, то задача не имеет решения, потому что тогда дуга   А1В и окружность не пересекутся. Если а:2=МК - задача имеет одно решение. Если Ь:2 а:2 КМ - задача имеет два решения.                          _к

Задача 2.

На диаметре круглого бильярдного стола по разные стороны от центра размещены два шара А и В. Шар А ударили так, что он ударившись в борт, попал в шар В. Изобразить путь шара А.

Анализ. Допустим, что задача решена и найдена точка С, что шар ударившись о борт в этой точке, отобьётся от него и попадёт в шар В. Проведём в точке С к центру касательную с1, тогда ОС <1 Беря во внимание то, что угол падения должен быть равен углу отбивания шара, получаем, что СО будет биссектрисой угла С треугольника АСВ. По свойству биссектрисы треугольника имеем АС:СВ=АО:ОВ.

Значит точка С удовлетворяет два условия:

1)  принадлежит борту круглого стола (окружности),

2) отношение расстояний от этой точки и до точек А и В является величина стола, и равна АО:ОВ.

Условие второе удовлетворяют точки, которые принадлежат некоторой окружности с диаметром ОК, причем точка К такая, что АК:КВ=АО:ОВ. К АВ.

Из этого следует что точка С найдется на пересечении борта стола и окружности с диаметром ОК.